Toán học còn có nhiều thứ hơn là mỗi sự chặt chẽ và chứng minh

Người ta có thể chia việc học toán thành ba giai đoạn:

1. Giai đoạn “tiền chặt chẽ”, khi mà môn toán được dạy một cách trực quan, phi hình thức, dựa trên các ví dụ, ý niệm mập mờ, và những lập luận bỏ bước¹. (Ví dụ, bộ môn giải tích ban đầu thường được giới thiệu qua các khái niệm như độ dốc, diện tích, độ thay đổi, v.v.) Thứ được nhấn mạnh ở đây là cách tính toán hơn là lý thuyết. Giai đoạn này thường tồn tại cho đến những năm đầu của đại học.
2. Giai đoạn “chặt chẽ”, khi mà một người giờ được học rằng để làm toán một cách “chính thống”, người đó cần làm việc và suy nghĩ theo một phương cách tỉ mẩn và hình thức hơn rất nhiều (ví dụ, xây dựng lại giải tích qua epsilon và delta ở mọi nơi). Thứ được nhất mạnh ở đây chủ yếu lại là lý thuyết, và người học được trông chờ là có khả năng thao tác các đối tượng toán học trừu tượng một cách thoải mái mà không cần để ý quá nhiều vào việc những đối tượng này thực sự có “nghĩa” gì. Giai đoạn này thường bao trùm những năm cuối của bậc đại học và những năm đầu của cao học.
3. Giai đoạn “hậu chặt chẽ”, khi mà người học đã trở nên hoàn toàn thoải mái với các nền tảng chặt chẽ trong phân ngành mà người đó đã chọn, và bây giờ đã sẵn sàng để quay lại và hoàn thiện các trực giác tiền chặt chẽ trong phân ngành, nhưng lần này với một trực giác được nâng đỡ chắc chắn bằng lý thuyết chặt chẽ. (Ví dụ, trong giai đoạn này người học có thể thực hiện các phép tính trong giải tích vectơ nhanh chóng và chính xác bằng cách so sánh với giải tích vô hướng, hoặc sử dụng các khái niệm vi phân, kí hiệu O lớn, v.v, một cách không hình thức hoặc bán chặt chẽ, và có thể chuyển tất cả những tính toán này thành một lập luận chặt chẽ bất cứ khi nào cần thiết.) Thứ được nhấn mạnh ở đây là các các ứng dụng của việc tính toán, trực giác, và “bức tranh toàn cảnh”. Giai đoạn này thường ở những năm cuối của cao học và về sau.

Quá trình chuyển từ giai đoạn một sang giai đoạn hai được biết đến là gây nhiều đau đớn, với các “bài tập chứng minh” reo rắc nỗi sợ hãi cho nhiều sinh viên đại học toán. (Đọc thêm “Toán học còn có nhiều thứ hơn là mỗi điểm số và kỳ thi và phương pháp“.) Nhưng việc chuyển giao từ giai đoạn hai sang ba cũng quan trọng không kém, và không nên bị bỏ quên.

Dĩ nhiên rằng việc bạn biết suy nghĩ một cách chặt chẽ là cực kỳ quan trọng, vì điều này cho bạn sự kỉ luật để đỡ gặp phải rất nhiều các lỗi thường gặp và xoá bỏ nhiều ngộ nhận. Đáng tiếc là việc này có một hậu quả không cố ý là các lối suy nghĩ “mập mờ” hoặc “trực giác” (ví dụ như suy luận tắt, ngoại suy hợp lý từ các ví dụ, hoặc so sánh với các ngữ cảnh khác như vật lý) thường bị coi là “thiếu chặt chẽ”. Quá thường xuyên, một người sẽ thành ra từ bỏ trực giác ban đầu và chỉ còn có thể làm toán ở mức hình thức, vì thế bị chững lại ở giai đoạn thứ hai của việc học toán. (Chưa kể, điều này còn ảnh hưởng đến khả năng đọc các bài nghiên cứu toán học, một đầu óc quá tỉ mẩn sẽ dẫn đến các “lỗi biên dịch” khi họ gặp một lỗi đánh máy hoặc một điểm mơ hồ trong một bài nghiên cứu như vậy.)

Mục đích của sự chặt chẽ không phải là tiêu diệt toàn bộ trực giác; thay vào đó, nó nên được dùng để tiêu diệt các trực giác tồi và đồng thời làm rõ và phát huy các trực giác hay. Chỉ với sự kết hợp giữa cả hình thức luận chặt chẽ và trực giác tốt thì một người mới có thể giải quyết các bài toán phức tạp. Họ cần cái thứ nhất để xử lý các chi tiết vi tế một cách chính xác, và cần cái thứ hai để xử lý bức tranh toàn cục một cách chính xác. Thiếu một trong hai điều trên, bạn sẽ bỏ rất nhiều thời gian mò mẫm trong bóng tối (điều này có thể hữu ích, nhưng cực kỳ không hiệu quả). Thế nên khi bạn đã hoàn toàn thoải mái với suy luận toán học chặt chẽ, bạn nên thăm lại các trực giác của mình thay vì vứt bỏ chúng. Một cách để làm điều này là tự hỏi bản thân các câu hỏi ngớ ngẩn; một cách khác là học lại chuyên ngành của bạn.

Trạng thái lý tưởng để hướng tới là khi mọi suy luận tắt sẽ dẫn đến một suy luận chặt chẽ tương ứng với nó một cách tự nhiên, và ngược lại. Và lúc này bạn sẽ có thể tấn công các bài toán bằng cả hai nửa cầu não của mình cùng một lúc – tức là giống hệt cách bạn giải quyết các vấn đề trong “đời thật”.

Đọc thêm:

• Bài viết của Bill Thurston, “Về chứng minh và tiến bộ trong toán học“;
• “Trực giác và logic trong toán” của Henri Poincare
• Bài phát biểu này của Stephen Fry về một hiện tượng tương tự rằng ngôn ngữ còn có nhiều thứ hơn là mỗi ngữ pháp và chính tả; và
• Các giai đoạn phát triển đạo đức theo Kohlberg (cho rằng (ngoài một số thứ khác) đạo đức còn có nhiều thứ hơn là mỗi phong tục tập quán và sự chấp thuận của xã hội).

Viết thêm: Có lẽ cần lưu ý là các nhà toán học ở cả ba giai đoạn phát triển nêu trên vẫn có thể có các lỗi sai hình thức trong nghiên cứu của họ. Tuy nhiên, bản chất của những lỗi này thường sẽ khác nhau, tuỳ theo việc họ đang ở giai đoạn nào:

1. Những người làm toán ở giai đoạn tiền chặt chẽ thường có các lỗi sai hình thức vì họ không hiểu hình thức luận toán học chặt chẽ hoạt động như thế nào, và thường áp dụng các quy tắc hình thức hoặc suy luận tắt một cách mù quáng. Thường có thể sẽ rất khó để những người làm toán này tự sửa các lỗi của họ, kể cả khi các lỗi đó được trực tiếp chỉ ra.
2. Những người làm toán ở giai đoạn chặt chẽ vẫn có thể có các lỗi sai hình thức vì hiểu biết hình thức của họ vẫn chưa được hoàn thiện, hoặc họ chưa đủ khả năng để kiểm tra nhanh² trực giác hoặc các nguyên tắc thông dụng (rule of thumb) khác, ví dụ như nhầm dấu, hoặc họ thất bại trong việc kiểm chứng một giả thiết quan trọng trong một công cụ nào đó. Tuy nhiên, các lỗi này thường có thể được phát hiện dễ dàng (và thường được sửa lại) ngay khi chúng được chỉ ra.
3. Những người làm toán ở giai đoạn hậu chặt chẽ cũng không phải không bao giờ sai được, và vẫn có khả năng phạm các lỗi hình thức trong khi viết. Nhưng điều này thường là vì họ không còn cần đến hình thức luận để có thể làm toán ở trình độ cao, và thực sự là họ tiến bước chủ yếu thông qua trực giác, rồi sau đó dịch lại nó thành ngôn ngữ toán hình thức (có thể không chính xác).

Sự khác biệt giữa ba loại lỗi này có thể dẫn đến một hiện tượng (mà thường có thể gây bối rối cho người ở các giai đoạn đầu học toán) là một lập luận của một nhà toán học ở giai đoạn hậu chặt chẽ mà ở mức cục bộ thì có một số các lỗi đánh máy và các lỗi lập luận hình thức, nhưng ở mức tổng thể thì lại khá hợp lý, với những lỗi cục bộ được lan ra một lúc trước khi bị khử bởi những lỗi cục bộ khác. (Ngược lại, khi không có một trực giác chắc chắn kiểm chứng, một khi một lỗi sai xuất hiện trong một lập luận của người làm toán ở trình độ tiền chặt chẽ hoặc chặt chẽ, có khả năng lỗi sai này lan rộng một cách không kiểm soát đến khi người đó kết thúc với một lời giải hoàn toàn vô lý.) Đọc bài này để xem thêm các bàn luận về những lỗi kiểu này, và cách để đọc các bài nghiên cứu để bù lại những lỗi sai này.

Tôi cũng có bàn thêm về chủ đề này trong video này với Brady “Numberphile” Haran.

Chú thích của người dịch:
¹ Nguyên văn: hand-waving. Đây là kiểu lập luận không chặt chẽ, nhưng vẫn cho ra những kết quả có vẻ hợp lý, có thể tạm dùng. Từ này lấy ý từ việc điều kỳ diệu xuất hiện sau khi nhà ảo thuật vẫy tay một cái.
² Nguyên văn: sanity check. Dịch sát nghĩa là “phép thử độ tỉnh táo”, là một kiểu nhẩm lại hoặc kiểm tra nhanh độ chính xác của kết quả. Ví dụ, với đề bài “Hãy tính bình phương số 738” mà một người cho đáp án là 54.464, ta có thể kiểm tra “độ tỉnh táo” của họ bằng cách xét rằng 700² = 490.000 > 54.464. Như vậy có thể thấy kết quả này là sai. (Kết quả đúng là 544.644.)

Bài tiếng Anh: There’s more to mathematics than rigour and proofs
Tác giả: Terence “Terry” Tao (Đào Triết Hiên), sinh năm 1975, được xem là thần đồng toán học. Năm 21 tuổi anh nhận bằng tiến sĩ tại Princeton. Năm 24 tuổi trở thành giáo sư tại UCLA, và là giáo sư trẻ nhất từng được bổ nhiệm ở đây. Năm 31 tuổi anh được nhận Huy chương Fields. Chuyên môn của anh là về giải tích điều hòa, phương trình đạo hàm riêng, lý thuyết tổ hợp, lý thuyết số giải tích và lý thuyết biểu diễn.
Người dịch: oligothoughts
Biên tập: Minh Nhật

Khi một người đã chịu nhiều nỗi đau đến mức một ngày họ bàng hoàng kết luận rằng họ không còn khả năng để hy vọng thêm một lần nào nữa rồi, thì toàn bộ thế giới xung quanh họ sẽ rùng rùng biến đổi. Một khi họ đã học được rằng mình hoàn toàn bất lực để thay đổi tình hình, thì kèm theo đó họ cũng sẽ có những niềm tin mới để hợp lý hóa sự cam phận của mình. Những niềm tin mới này - tuy gây hại - nhưng lại rất logic, khiến cho họ không những không có động lực để thay đổi, mà còn có động lực để không thay đổi.

Đã có hằng hà sa số những bài viết giải thích những ngộ nhận phổ biến, và cũng đã có hằng hà sa số những dự án thay đổi nhận thức cộng đồng. Nhưng cuộc sống đã cho họ quá đủ trải nghiệm rồi nên họ mới thành ra như thế. Giờ muốn họ thực sự suy nghĩ điều ngược lại thì cần cho họ một sự trải nghiệm mới nhiều gấp đôi, gấp ba. Nên nếu chỉ dừng ở việc hy vọng cái hiểu đúng sẽ đủ khả năng cạnh tranh với cái hiểu sai, còn bản thân những thứ đang dung dưỡng cái sai thì không bị đả động đến, thì chỉ là chữa phần ngọn chứ không phải phần gốc.

Nhưng liệu ai sẽ là người đem lại trải nghiệm nhiều gấp đôi, gấp ba cho họ, khi xã hội vẫn hằng ngày có những ví dụ để tiếp tục khẳng định niềm tin tiêu cực đấy? Tại sao lại phải trông chờ vào những thứ ngẫu nhiên, khi ta hoàn toàn có thể tạo ra môi trường phù hợp cho họ? Và nếu không ta thì ai, khi ta mới là người hiểu rõ họ nhất và nhiều động lực nhất để giúp họ?

Nếu trong tâm trí bạn cũng có một người mà bạn rất muốn giúp họ thay đổi nhưng cảm thấy bế tắc, chúng tôi muốn mời bạn gia nhập Mạng lưới người thân, bạn bè của người có niềm tin tiêu cực để phối hợp cùng những người bạn khác. Đây là các hoạt động của nhóm:

Hỗ trợ 1-1 cho thành viên

Thảo luận các kiến thức liên quan đến sự tác động

Thành lập một cơ sở dữ liệu những người có tiềm năng và sẵn sàng trợ giúp nhau tác động đến cá nhân và cộng đồng người có niềm tin tiêu cực

Tìm hiểu thêm